+7 (727) 344 95 95
Русский
Bilimland.kz
Bilimland.kz Bilimland.kz

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Галкина Ольга Константиновна
Галкина Ольга Константиновна
Северо-Казахстанская
с. Новомихайловка
Новомихайловская СШ
Алгебра
Класс:
11 класс
Раздел:
Уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств
Тема:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

19.11.2020
0
Скачать в PDF Скачать в WORD
Цели обучения (ссылка на учебную программу): 11.4.1.25. Решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка вида ay′′ + by′ + cy = 0, где a, b, c – постоянные  
Цели урока: <ul><li>решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка вида ay′′ + by′ + cy = 0, где a, b, c – постоянные; </li><li> показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения.&nbsp; &nbsp;</li></ul>
Языковые цели: Предметная лексика и терминология составить характеристическое уравнение; определить корни характеристического уравнения; подставить найденные значения в формулу общего решения линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами; найти общее решение. Серия полезных фраз для диалога/письма: дифференцировать общее решение; находить произвольные постоянные; определить частное решение.&nbsp;&nbsp;
Ожидаемый результат: Решают линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (вида ay''+by'+cy=0, где a, b, c - постоянные)&nbsp;&nbsp;
Критерии успеха:
Привитие ценностей: Ценности, основанные на национальной идее «Мәңгілік ел»: уважение; сотрудничество; труд и творчество; открытость; образование в течение всей жизни.&nbsp;
Навыки использования ИКТ: Знание, понимание, применение&nbsp;&nbsp;
Межпредметная связь: Физика&nbsp;&nbsp;
Предыдущие знания: Основные сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными. Комплексные числа.

Ход урока

Этапы урока Запланированная деятельность на уроке Ресурсы

Начало урока

(6 минут)

 <p>I. Организационный момент: Эпиграф к уроку. Готфрид Вильгельм Лейбниц определял мир – умопостигаемый, или мир истинно сущего. Он же и ввёл определение дифференциала и дифференциального уравнения в 17 веке. С помощью метода «Толстые и тонкие вопросы» проводится проверка домашней работы. ВОПРОСЫ: Какое уравнение называется дифференциальным? (Ответ: уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы). Порядок дифференциального уравнения это…? (Ответ: наибольший порядок производных) Что значит найти решение дифференциального уравнения?(Ответ: интегрировать его) Различие общего и частного решения дифференциального уравнения: (Ответ: Общее решение (общий интеграл) – каков порядок уравнения, столько и независимых произвольных постоянных. Частное – значение поученное при числовой подстановки независимых произвольных постоянных общее решение). Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными?(Ответ: f(y)dy=g(x)dx, то есть переменные x и y разделены знаком равенства и функции f(y) и g(x) – непрерывны. И ∫▒f(y)dy=∫▒g(x)dx)). Приведите примеры. 6. Найти производную: 〖y=e〗^7x ( Ответ: 〖y^,=7e〗^7x) 〖y=e〗^(7-x) ( Ответ: 〖y^,=〖(7-х)〗^(,)∙e〗^(7-x)= 〖-e〗^(7-x)) 〖 y=e〗^(k_0 x) ( Ответ: 〖y^,=k_0∙e〗^(k_0 x)) ФО. Cловестное оценивание, комментарии.&nbsp;&nbsp;</p>

Информация нового материалла

(7 минут)

 Определение: Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида y^(,,)+p(x)y^,+q(x)y=f(x). Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида ay^(,,)+by^,+cy=0 Характеристическое уравнение ak^2+bk+c=0,где k – корень квадратного уравнения. В зависимости от значение дискриминанта дифференциальные уравнения имеют так же три случая общего решения. Корни хар-го у-я ak^2+bk+=0 Значение Дискри- минанта Общее решение k_1=k_2∈R D=0 y(x)=(C_1 x+C_2 )∙e^(k_1 x) k_1≠k_2∈R D&gt;0 y(x)=C_1∙e^(k_1 x)+C_2∙e^(k_2 x) k_1≠k_2∈C k=a+bi D&lt;0 y(x)=e^ax [C_1 cos⁡(bx)+C_2 sin⁡(bx)]&nbsp; &nbsp;&nbsp; Абылкасымова А.Е., Корчевский В.Е., Жумагулова З. А. Алгеблра и начала анализа (ЕМН) 11 кл. общеобразоват.шк. – Алматы: Мектеп, 2020.– 256 с.: ил.&nbsp;

Середина урока. Актуализация знаний

(14 минут)

 Работа в группах. Задания для групп по учебнику: 1) №28.3 (1). y^(,,)-6y^,+9y=0 2) №28.3 (3). y^(,,)-2y^,-8y=0 3) №28.4 (1). y^(,,)-2y^,+10y=0 РЕШЕНИЕ: 1) №28.3 (1). y^(,,)-6y^,+9y=0 Составим и решим характеристическое уравнение: k^2-6k+9=0, D=0, один корень k=3 =&gt; y(x)=(C_1 x+C_2 )∙e^(k_1 x), где C_1,C_2-произвольные действительные числа Ответ: y(x)=(C_1 x+C_2)∙e^3x 2) №28.3 (3). y^(,,)-2y^,-8y=0 Составим и решим характеристическое уравнение: k^2-2k-8=0, D=36, два корня k_1=-2,k_2=4 =&gt; y(x)=C_1∙e^(k_1 x)+C_2∙e^(k_2 x), Ответ: y(x)=C_1∙e^(-2x)+C_2∙e^4x 3) №28.4 (1). y^(,,)-2y^,+10y=0 Составим и решим характеристическое уравнение: k^2-2k+10=0, D= -36, нет действительных корней. Тогда находим комплексные корни D= 36i^2, k_1=a+bi,k_2=a-bi k_1= (2+√(36i^2 ))/2=(2+6i)/2=1+3i, k_2=1-3i y(x)=e^ax [C_1 cos⁡(bx)+C_2 sin⁡(bx)] Ответ: y(x)=e^1x [C_1 cos⁡(3x)+C_2 sin⁡(3x)] Дескрипторы Балл Составляет характеристического уравнение; Определяет корни характеристического уравнения; Подставляет найденные значения в формулу общего решение однородного дифференциального уравнения второго порядка; Находит общее решение 1 1 1 1 Всего 4 ФО. Взаимооценивание с комментариями учителя «учитель - ученик», «ученик - ученик». Учитель наблюдает за детьми, при необходимости комментирует. Цель задания. Подготовка к написанию СО. Задание 2. По учебнику № 28.6 (4) Найти частное решение дифференциального уравнения: y^(,,)-2y^,-8y=0, при у(0)=2, y(1)=0. Мы нашли общее решение уравнения №28.3 (3) y(x)=C_1∙e^(-2x)+C_2∙e^4x у(0)=2 y(0)=C_1∙e^(-2∙0)+C_2∙e^(4∙0)=C_1+C_2 =&gt; C_1+C_2=2 y(1)=0 y(1)=C_1∙e^(-2)+C_2∙e^4 =&gt; C_1∙e^(-2)+C_2∙e^4=0 {█(C_1+C_2=2@C_1∙e^(-2)+C_2∙e^4=0)┤ =&gt; {█(C_1=〖2-C〗_2@〖2-C〗_2/e^2 +C_2∙e^4=0)┤ 〖2-C〗_2+C_2∙e^6=0 C_2∙(e^6-1)=2 =&gt;C_2=2/(e^6-1) =&gt; C_1=2-2/(e^6-1)= (〖2e〗^6-4)/(e^6-1) Частное решение y(x)=(〖2e〗^6-4)/(e^6-1)∙e^(-2x)+2/(e^6-1)∙e^4x Или y(x)= (-2 )/(e^6-1)∙e^4x+(2e^6 )/(e^6-1) e^(-2x) Дескрипторы Балл Составляет систему уравнения используя начальные условия; Определяет произвольные постоянные; Определяет частные решения; 1 1 1 Всего 4 ФО. Взаимооценивание по готовому образцу. Учитель наблюдает, при необходимости комментирует.&nbsp;&nbsp; карточка

Конец урока

(10 минут)

 Индивидуальный тест (дополните). 1. Термин «дифференциал» ввёл…….. 2. Порядок уравнения 5y^(,,,)+4y^(,,)+y^,=0 равен…... 3. Правая часть однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами равна…… 4. Если y^(,,)-4y^,+53y=0, то характеристическое уравнение …….. 5. Если D&lt;0, то может ли уравнение иметь корни?.... 6. Если y^(,,)+y=0, то а) составьте характеристическое уравнение …… в) определите корни (если они есть)…… с) составьте общее решение уравнения (если оно существует) …… 7) Найдите частное решение дифференциального уравнения y^(,,)+y=0, при условии у(0)=1, y(π/2)=2 8) Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид y(x)=C_1∙e^(-6x)+C_2∙e^1x. Определите характеристическое уравнение… Ключ к тесту: 1) Лейбниц Г.В.;2) 3; 3) 0; 4) k^2-4k+53=0; 5) уравнение имеет корни на множестве комплексных чисел; 6) a) k^2+1=0; в) k^2=-1, k^2=i^2; k=±i; с) k=a±bi =&gt; a=0,b=1 . Тогда y(x)=e^(0∙x) [C_1 cos⁡(x)+C_2 sin⁡(x)], то есть y=C_1∙cosx+C_2∙sinx. 7) y(0)=1 =&gt; 1=C_1∙cos0+C_2∙sin0 =&gt; C_1=1. y(π/2)=2=&gt; 2=C_1∙cos π/2+C_2∙sin π/2 =&gt; C_2=2. Частное решение y=cosx+2sinx. 8) Следовательно корни характеристического квадратного уравнения равны -6 и 1. По теореме Виета {█(-6+1=-5@-6∙1=-6 ) =&gt; ┤ y^(,,)+5y^,-6y=0&nbsp;&nbsp;

Рефлексия

(2 минуты)

 Прием «Круги по воде» Цель: оценить степень усвоения изученного материала Инструкция: Ключевое слово урока «УРАВНЕНИЕ» записывается в столбик. И на каждую букву учащиеся предлагают и записывают существительные или словосочетания по изученной теме.&nbsp;&nbsp; макет на доске

Домашнее задание

(1 минута)

 Дифференцированное. Цель: отработать полученные умения и навыки на уроке Инструкция: решить номера по учебнику, классная раблота является как облразец. 1) По учебнику № 28.3, 28.4, 28.6 стр216. 2)Заполнить таблицу №28.1&nbsp;&nbsp; Карточка, Абылкасымова А.Е., Корчевский В.Е., Жумагулова З. А. Алгеблра и начала анализа (ЕМН) 11 кл. общеобразоват.шк. – Алматы: Мектеп, 2020.– 256 с.: ил.&nbsp;&nbsp;

Приложение:

Открыть файл Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Отзывы(0)