Исследование функции с помощью производной

Цели обучения, которые будут достигнуты с помощью данного урока:

1.Уметь находить нули функции по графику на заданном интервале.

2. Уметь находить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы функции, точки максимумы и минимума

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с понятием исследования функции с помощью производной;

2. Ввести алгоритм решения исследования функции с помощью производной;

3. Познакомить с применением исследования на любой функции (линейной, квадратичной, тригонометрической).

Критерии успеха:

Знают понятие четности и нечетности функции.

Знают область определения любой функции.

Знают область значения любой функции.

Знают, как находить нули функции.

Умеют находить промежутки возрастания и убывания функции.

Умеют по алгоритму находить экстремумы функции.

Умеют находить наибольшее и наименьшее значение функции

Знают метод интервалов.

Развивают умение обобщать и правильно построить график по исследованию функции.

Языковые цели:

Используют и понимают математические термины для исследования функции с помощью производной

Привитие ценностей:

Сотрудничество, уважение, умение работать в коллективе, открытость, творчество и обучение на всем этапе жизненного пути

Межпредметные связи:

Информатика

Навыки использования ИКТ:

Интерактивная доска, Bilimland.kz, Itest.kz

Предварительные знания:

Знание понятие функции и ее области определения и значения из курса 8 класса, Знание нахождения производной, промежутков возрастания и убывания функции, наибольшего и наименьшего значения

Этапы урока

Содержание

Ресурсы

2  минуты

Организационный момент.

Вспомнить определения и понятия из предыдущих уроков. Проверить домашнее задание.

Провести устный опрос:

- что мы изучали на прошлом уроке, какова была цель нашего урока?

- что мы знаем о функции?

- что вы знаете о промежутках возрастания и убывания функции?

- как можно найти наибольшее и наименьшее значение функции?

Сообщить учащимся тему и цель сегодняшнего урока. (Слайд 1 и слайд 2)

Флипчарт Слайд 1 – 2

Середина урока

5 минут

Алгоритм исследования функции

1. Найти область определения.
2. Область значений(если возможно найти)
3. Исследовать на четность и нечетность, периодичность (для тригонометрических) функцию.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат(осью Ох  (х;0) и осью Оу  (0;у) )
5. Найти критические точки.
6. Найти промежутки монотонности(возрастания и убывания)
7. Найти точки экстремума и экстремум функции(хmax, xmin, ymax, ymin)
8. Построить график.
9. Если необходимо вычислить дополнительные точки

Посмотреть видео № 1

Рис1.

https://bilimland.kz/ru/courses/math-ru/nachala-analiza/proizvodnaya-i-ee-primeneniya/primenenie-proizvodnoi-k-issledovaniyu-funkczii/lesson/issledovanie-funkczii-s-pomoshyu-proizvodnoi-i-postroenie-ee-grafika

Работа в парах

5 минут

Выполним упражнение №1

Рис.2

Выполним упражнение №2 и объединим результаты в таблицу

Рис 3

https://bilimland.kz/ru/courses/math-ru/nachala-analiza/proizvodnaya-i-ee-primeneniya/primenenie-proizvodnoi-k-issledovaniyu-funkczii/lesson/issledovanie-funkczii-s-pomoshyu-proizvodnoi-i-postroenie-ee-grafika 

Работа с классом

5 минут

Упражнение № 3

Рис.4

https://bilimland.kz/ru/courses/math-ru/nachala-analiza/proizvodnaya-i-ee-primeneniya/primenenie-proizvodnoi-k-issledovaniyu-funkczii/lesson/issledovanie-funkczii-s-pomoshyu-proizvodnoi-i-postroenie-ee-grafika 

Работа в группах

15 минут

1 группа: Рассмотрим функцию  и построим ее график.

График данной функции получается из графика функции у = 1/x его смещением на 2 единицы вправо. Видно, что при х → 2 (при этом х < 2) знаменатель х - 2 отрицательный и х - 2 → 0. Поэтому значения функции  неограниченно убывают, т. е. у → -∞. При х → 2 (при этом х > 2) знаменатель х - 2 положительный и х - 2 → 0. Поэтому значения функции  неограниченно возрастают, т. е. у → ∞. Следовательно, вертикальная прямая х = 2 является вертикальной асимптотой данной функции .

2 группа: Построим график функции 

Разложим числитель данной дроби на множители и сократим ее. Получаем:  (при этом х ≠ 2). Видно, что при х → 2 значения функции у → 3. Поэтому данная функция вертикальной асимптоты не имеет. Существует только значение х = 2, при котором функция не определена.

Обратимся теперь к понятию наклонной асимптоты. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой функции f(х), если при неограниченном возрастании или убывании х значения функции f(х) стремятся к значениям линейной функции y(x), т. е. при х → ±∞f(х) → у(х).

 3 группа: Построим график функции 

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При x = 0 находим:  - точка пересечения с осью ординат. При у = 0 получаем уравнение  или 0 = х2 + 2х - 3, корни которого x1 = -3 и x2 = 1 - точки пересечения с осью абсцисс.

Очевидно, что прямая х = 2 - вертикальная асимптота. При х → 2 числитель дроби х + 2х – 3 → 22 + 2 · 2 - 3 = 5. При х < 2 знаменатель дроби х - 2 отрицательный и х - 2 → 0. Поэтому значения функции у → -∞. При х > 2 знаменатель дроби х - 2 положительный и х - 2 → 0. Поэтому значения функции у → ∞.

Разделим числитель дроби х2 + 2х - 3 на ее знаменатель х - 2 столбиком и выделим целую часть. Тогда функция у(х) имеет вид  Очевидно, при x → ∞ дробь  и значения функции y(х) стремятся к значениям линейной функции у = х + 4. Поэтому линейная функция у = х + 4 является наклонной асимптотой для данной функцииy(x).

Учитывая точки пересечения графика функции с осями координат, наличие вертикальной и наклонной асимптот, строим график данной функции. Очевидно, что график функции не пересекает асимптоты. На графике видно, что функция имеет максимум и минимум (найти их координаты можно только с помощью производной).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота (при k = 0). Горизонтальная прямая у = b называется горизонтальной асимптотой функции f(х), если при неограниченном возрастании или убывании х значения функции f(x) стремятся к величине b, т. е. при х → ±∞ f(x) → b.

Постеры с исследованием и графиками функции

Индивидуальная работа

5 минут

Тестовые задания

Пять заданий на проверку

http://itest.kz/exam_test?test_id=244860297

Конец урока

3 минуты

Организует индивидуальную работу над текстом. Проводит рефлексию. Стратегия «Телеграмма»

Проводит рефлексию.

-Какую цель мы поставили сегодня на уроке?

-Достигли мы целей, которые ставили в начале урока

«Красное яблоко» - урок прошел полезно, плодотворно (все понятно)

«Желтое яблоко» - не все получилось, но я старался (хорошо)

«Зеленое яблоко» - не смог справиться со всеми заданиями, еще нужно поработать

Домашнее задание.

1. Упражнение № 4,5 с сайта bilimland.kz

Флипчарт слайд 3

Стикеры

Используемые ресурсы:

1. Флипчарты
2. bilimland.kz
3. itest.kz

Флипчарт для интерактивной доски

Веб-сайт

Веб-сайт

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Работа в паре, разделить на более сильного и медлительного учащегося

После каждого этапа задавать вопросы, минитесты

Здоровье сберегающие технологии.

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?