Решение показательных уравнений

Ход урока.

1. Организационный момент.

Урок я хочу начать притчей: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. «Произнеси это 5 раз.».  «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз..  «Вот видишь», -сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.

Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

2.  Постановка цели и задач.

Тема урока «Решение показательных уравнений». А эпиграфом к нашему уроку станут слова С. Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». То есть другими словами можно сказать, что если вы будите уметь решать уравнения, значит экзамена по математике вам не стоит бояться.

И так как тема нашего урока «Решение показательных уравнений», то как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке и какие поставите вы цели? Повторить, отработать и обобщить  способы решения показательных уравнений.

3. Проверка домашнего задания.

- А сейчас, ребята, мы проверим выполнение вашей домашней работы. На дом вам было предложено решить показательные уравнения из тренажера.

- Я приглашаю к доске желающего показать свои результаты. Учащийся решает на доске уравнение из домашней работы. В это время учитель проводит фронтальный опрос   

Решите уравнение.

(3^{x+2}+4cdot 3^{x+1}=21;)       (3^{2x}+2cdot 3^{x}-3=0;)     (3^{sin x}+5^{2-sin x}=18.)

4. Повторение.

Фронтальный опрос

1. Какие уравнения называются показательными?

2. Какие уравнения называются простыми показательными уравнениями?

4. Какие методы решения показательного уравнения вы знаете?

5. Верно ли, что если (b>0,) то уравнение (a^x=b) имеет один корень,
б) Верно ли, что если (b=0,) то уравнение (a^x=b) не имеет корней.

6. Является ли число 3 корнем уравнения (2^x=8?)
    Является ли число 2 корнем уравнения (0,3^x=0,09)

Устная работа

1. Решите уравнения 

Выполнить упражнение с сайта bilimland.kz 

Проверим результаты вашей работы.

2. Решение показательных нестандартных уравнений

(5^x-3^x=16\2^x+3^x+4^x=9^x)

По графику функции найдите корень уравнения

4. Найдите ошибку в решении уравнения

(frac{x^2-13x+22}{3^x-9}=0\ egin{cases} x^2-13x+22=0\3^x-9=0end{cases})

(Д=169-88=81)

(x_1=frac{13+9}{2}=11)           (x_2=frac{13-9}{2}=2)

Ответ: (x_1=11, x_2=2.)

Найди ошибку в доказательстве неравенства.

Я докажу, что (2>3.)

(frac{1}{4}>frac{1}{8})

({(frac{1}{2})}^2>{(frac{1}{2})}^3)

Большему числу соответствует больший показатель

(2>3.)

Где ошибка?

5. Упражнения для закрепления

1. С каждой группы  по одному человеку решают уравнение на доске

({(frac{16}{25})}^{x+3}={(frac{125}{64})}^{2})               (sqrt{2^{x+2}}=frac{4}{sqrt{2}})             ({(frac{1}{5sqrt{5}})}^x=sqrt[3]{5})

   
2. Работа в группах

Решите уравнение графическим способом: (2^x=x+2.)

Познакомимся с еще одним методом решения показательных уравнений «Метод мажорант» 

На самом  деле,  вы  встречались с этим методом, просто не знали, как он называется.

Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки»,

«метод mini-max».

Это очень красивый метод, и ему непременно следует научиться.

Рассмотрим решение уравнения  (2^{|x|}=cos^2x)

Решение. Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства

(2^{|x|}≥1) и 0≤ (cos^2x≤1.)

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

(egin{cases}2^{|x|}=1\ cos^2x=1,end{cases}\ egin{cases}x=0\ cos^2x=1end{cases}\ )

При (x=0) второе уравнение обращается в тождество, значит, (x=0) корень уравнения.

Ответ: (x=0.)

Организация деятельности учащихся по применению полученных знаний для решения практических задач.

Умея решать показательные уравнения различными способами, сможете ли вы теперь применить имеющиеся знания для решения задач с практической направленностью? Рассмотрим задачу, для решения которой необходимо уметь решать показательные уравнения.

Задание. Некоторая фирма взяла кредит в банке (80;000) у.е. под (15\%) годовых. Сумма возврата кредита с процентами (92;000) у.е. На сколько лет взят кредит в банке?

Решение. Для расчетов экономисты применяют формулу вычисления сложных процентов.

(S=scdot {(1+p)}^x,)

где (S) – сумма возврата,

 (s) – сумма кредита,

(p-frac{ставка;процента;по;кредиту}{100})

(x) – количество лет, на которые взят кредит.

Используя условие задачи и формулу, попытайтесь самостоятельно ответить на вопрос задачи. Кто готов ответить? Какие ответы получились у других?..  давайте сверим ваше решение с решением на доске.

(92;000=80;000 cdot{(1+frac{15}{100})}^x ;)

(90;000=80;000 cdot{(frac{23}{20})}^x ;)

({(frac{23}{20})}^x=frac{92;000}{80;000};)

({(frac{23}{20})}^x=frac{92}{80};)

({(frac{23}{20})}^x=frac{23}{20};)

(x=1.)

Ответ: (1) год.         

Выполните тест     

Проверим результат теста.

6. Домашнее задание.

§16 повторить, №271, №272

7. Подведение итогов урока.

Вспомнив эпиграф нашего урока, можно сказать, что сегодня на уроке мы воспользовались ключом к решению показательных уравнений. Мне хотелось бы узнать, насколько вы смогли воспользоваться этим ключом.

 А теперь, подведите итоги своей работы на уроке, подсчитайте свои баллы и поставьте себе оценку.

Группа 1, кто в вашей группе заработал за урок наибольшее количество баллов? В группе 2, в группе 3?  А кто сегодня заработал «0» бонусов?

Сегодня на уроке особенно активно работали…… я даю вам за работу дополнительно 5 баллов.

Давайте вернемся к началу нашего урока и вспомним, какую цель мы ставили перед собой? (систематизировать и обобщить знания по теме показательные уравнения, отработать навыки решения уравнений различными способами и применить знания при решении практической задачи). Как вы считаете, справились мы с поставленной целью?

Да, действительно, цель урока мы сегодня с вами достигли.

Используемые ресурсы:
1.  А.Е. Абылкасымова, З.А. Жумагулова, А.Абдиев, В.Е.Корчевский:  алгебра и начала анализа 11 класс
2. И.П.Рустюмова, С.Т.Рустюмова. Тренажер по математике для подготовки к ЕНТ, А., 2013г.
3. презентация
4. bilimland.kz 

Таблица накопления баллов

Фамилия, имя учащегося_______________________________